Giả sử hàm ƒ(z) là điều hòa trong miền r < |z − c| < R có 2 chuỗi Laurent:

f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − c ) n = ∑ n = − ∞ ∞ b n ( z − c ) n . {\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\left(z-c\right)^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}\left(z-c\right)^{n}.}

Nhân vào 2 vế với ( z − c ) − k − 1 {\displaystyle \left(z-c\right)^{-k-1}} , trong đó k là một số nguyên tùy ý, và ta lấy tích phân theo đường and γ trong miền đã cho:

∮ γ ∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − c ) n − k − 1 d z = ∮ γ ∑ n = − ∞ ∞ b n ( z − c ) n − k − 1 d z . {\displaystyle \oint _{\gamma }\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\left(z-c\right)^{n-k-1}\mathrm {d} z=\oint _{\gamma }\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}\left(z-c\right)^{n-k-1}\mathrm {d} z.}

Cả hai chuỗi hội tụ đồng thời r + ϵ ≤ | z − c | ≤ R − ϵ {\displaystyle r+\epsilon \leq |z-c|\leq R-\epsilon } , trong đó ε là một số dương đủ nhỏ sao cho γ được bao hàm trong miền khép kín, sao cho tích phân vào tổng có thể thay đổi cho nhau.

∮ γ ( z − c ) n − k − 1 d z = 2 π i δ n k {\displaystyle \oint _{\gamma }(z-c)^{n-k-1}dz=2\pi i\delta _{nk}}

into the summation yields

a k = b k {\displaystyle a_{k}=b_{k}}

Do đó chuỗi Laurent là hội tụ